Özdeşlikler

Değişkenlerin aldığı her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

Özdeşlikler, bilinmeyenlerin aldığı her değer için sağlanır.,

Denklmeler ise yalnızca bazı gerçek sayılar için sağlanır.

ÖRNEK:

Aşağıdaki eşitliklerin denklem mi özdeşlikmi olduğunu belirleyiniz.

ÇÖZÜM:

1- \( 2x+3=x+5\)   ,  \(x=2\) olur.   , Eşitlik yalnızca \(x=2\) değeri için sağlanır. Bu bir denklemdir.

2-  \(4x-1=2x\)  ,  \(x=\frac{1}{2}\) olur.  , Eşitlik yalnızca \(x=\frac{1}{2}\) değeri için sağlanır. Bu bir denklemdir.

3-  \(3x^2-4=2x^2\)  ,  \(x^2=4\)  ise \(x=-2\)  veya \(x=2\)  olur.   Eşitlik yalnızca \(x=-2\) ve \(x=2\) değeri için sağlanır. Bu bir denklemdir.

4-  \(x^2=1-x^2\)  , \(2x^2=1\)  ise  \(x=\frac{-1}{\sqrt{2}}\)   veya  \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\)  olur.   Eşitlik yalnızca \(x=\frac{-1}{\sqrt{2}}\) ve \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\) değeri için sağlanır. Bu bir denklemdir.

5-  \(2x+6=2(x+3)\) , \(2x+6=2x+6\)  olur. Her gerçek sayı için bu eşitlik sağlanır.Örneğin \( x=2\) için \(10=10\)  , \(x=3 \)  için \(12=12\)  olur. Bu bir özdeşlikdir.

6-  \(\frac{6x+6}{3}=2x+3\)  , \(6x+6=6x+6\)  olur. Her gerçek sayı için eşitlik sağlanır. Örneğin \(x=1\) için \(12=12\)   ,  \(x=-1\) için \(0=0\)  olur. Bu bir özdeşliktir.

ÖRNEK:

Aşağıdaki ifadelerin özdeşliklerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

1- \((x+2y)^2=x^2+2.x.2y+(2y)^2=x^2+4xy+4y^2\)

2-  \((3+a)^2=3^2+2.3.a+a^2=a^2+6a+9\)

3- \((y-3)^2=y^2+2.y.(-3)+(-3)^2=y^2-6y+9\)

4- \((\frac{1}{x}+2)^2=\frac{1}{x^2}+2.\frac{1}{x}.2+2^2=\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}+4\)

ÖRNEK:

\((a+2)^2=ba^2+xa+y\)  ifadesi bir özdeşilk olduğuna göre \(b+x+y\)  toplamını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\((a+2)^2=a^2+4a+4\)

\(a^2+4a+4=ba^2+xa+y\)   ifadesi özdeşlik ise benzer terimler birbirlerine eşittir.

\(a^2=ba^2\) ise \(b=1\)

\(4a=xa\)  ise \(x=4\) 

\(4=y\)   olur.  Buradan \(b+x+y=1+4+4=9\)  olur.

ÖRNEK:

\(a=2,7\)  ve \(b= 0,7\) olduğuna göre  \(a^2-2ab+b^2\)  ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)   olur. Şimdi \(a\) ve  \(b\) değerlerini yerine yazalım.

\((a-b)^2=(2,7-0,7)^2=2^2=4\)  olarak bulunur.

ÖRNEK:

\(x^2-y^2=16\)  ve \((x-y)=4\)  olmak üzre \(x+y\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)  olur.

\(x^2-y^2=(x-y)(x+y)=4.(x+y)=16\)

\((x+y)=4\)  olarak bulunur.

ÖRNEK:

\(29.31\)  ifadesinin değerini iki kare farkı kullanarak bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(29.31=(30-1).(30+1)=30^2-1^2=900-1=899\)  olarak bulunur.

ÖRNEK:

\((2x+6)^2=ax^2+bx+36\)  özdeşliği veriliyor. Buna göre \(b-a\)  değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\((2x+6)^2=4x^2+24x+36\)  olur.

\(4x^2+24x+36=ax^2+bx+36\)  Buradan  \(a=4\)  ve \(b=24\)  olur.

\(b-a=24-4=20\)  olarak bulunur.