Sıralama Ve Seçme

1.Sayma Yöntemleri

a)Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma

TANIM: Herhangi bir kümenin elemanlarını \(Z ^{+}\) = {1, 2, 3, ...} kümesinin elemanları ile bire bir eşleme yaparak verilen kümenin eleman sayısını bulma işlemine denir. Verilen kümenin son elemanıyla eşleşen  \(Z ^{+ }\) kümesi elemanı o kümenin eleman sayısı olur.

ÖRNEK:

MATEMATİK kelimesinin harflerinden oluşan kümenin eleman sayısını bire bir eşleme yoluyla bulunuz. 

ÇÖZÜM:

A = {M, A, T, E, İ, K}

Z = {1,  2,  3, 4, 5, 6,...} 

Her harfin altındaki sayılar onun eşlemesi olur. Yani;

1->M, 2->A, 3->T, ... , 6->K olur

Kümenin eleman sayısı son elemana eşleşen "6" sayısından dolayı altı olur.

b)Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma

TANIM: A ve B sonlu ve ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin elemanları sayısının toplama işlemi yapılarak bulunmasıdır.

ÖRNEK:

A şehrinden B şehrine karadan 3 farklı şekilde ve havadan 2 farklı şekilde gidiliyor. Buna göre A şehrinden B şehrine gitmek isteyen biri kaç farklı şekilde gidebilir?

ÇÖZÜM:

Kara yolları kümesi K = {\(K_1,K_2,K_3\)} , s(K) = 3

Hava yolları kümesi H = {\(H_1,H_2\)} , s(H) = 2 olur 

s(K) + s(H) = 2 + 3 = 5 olur

c)Çarpma Yoluyla Sayma

TANIM: A ve B boş kümeden farklı ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin A x B  kümesinin elemanları olan sıralı ikililerin eleman sayısını bulma işlemidir. (s(A) . s(B))

ÖRNEK:

A şehrinden B şehrine 3 farklı şekilde ve B şehrinden C şehrime 4 farklı şekilde gidilebiliyor. A şehrinden C şehrine B şehri üzerinden gitmek isteyen bir kişi kaç farklı şekilde gidebilir

ÇÖZÜM:

A şehrinden B şehrine giden yollar M = {\(m_1,m_2,m_3\)}  

B şehrinden C şehrine giden yollar N = {\( n_1,n_2,n_3,n_4\)}

Tanımdan yaparsak s(M)=3 ve s(N)=4 olduğundan s(M) . s(N) = 3 x 4 = 12 olur.,

Şimdi çarpmamızın mantığını açıklamaya çalışalım. Öncelikle A ile B arasındaki  \(m_1\) yolunu seçelim. A dan B ye  \(m_1\) ile gittiğimizde, B den C ye gitmek için önümüzde dört farklı seçenek (\( n_1,n_2,n_3,n_4 \)) oluyor. Aynı durum \(m_2\) ve \(m_3\) yolları içinde geçerlidir. 3 x 4 ifadesinin açıklaması bu şekildedir.

Faktöriyel Kavramı

TANIM: 

n ∈ \(N ^{+}\) olmak üzere, 1'den n'ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına n faköriyel denir vr n! ile gösterilir.

n! = 1 . 2. 3. ... (n-1) . n

1! = 1 ve 0! = 1'dir.

ÖRNEK:

5! = ?

6! = ? 

ÇÖZÜM

:

5! = 1 . 2 . 3. 4 . 5 = 120

6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720

ÖRNEK:

KİTAP kelimesinin, harflerinin yerlerini değiştirerek anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime oluşturulabilir?

ÇÖZÜM:

Kitap kelimesi beş farklı harften oluşuyor. Bir tablo yapalım ve tablonun ilk kutucuğunda kelimenin ilk harfinin kaç farklı değer alabileceği, ikinci kutucuğuna kelimenin ikinci harfinin kaç farklı değer aşabileceği yazsın ve böyle devam etsin. Bu durumda ilk kutucuğa "5" farklı harf yazılabilirken ikinci kutucuğa "4" farklı harf yazılabilir çünkü zaten harflerden biri ilk kutucuğa yazılmıştır ve geriye dört harf kalmıştır. Aynı durum üçüncü kutucuk ve diğerleri içinde geçerlidir. Her kutucuktan sonra bir harf kullanıldığında bir eksilterek çarparız.

5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5! = 120 olur.

2.Permütasyon

TANIM: Herhangi bir A kümesinin elemanlarının farklı dizilişlerinin her biri A kümesinin bir permütasyonudur. n elemanlı A küesinin r'li permütasyonlarının sayısı P(n,r) ile gösterilir ve P(n,r) = \( {n! \over (n-r)!}\) olur.

ÖRNEK:

A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3'lü permütasyonlarını bulunuz. 

ÇÖZÜM:

s(A) = 5 ise 

P(5,3) = \( {n! \over (n-r)!}\)= \( {5! \over (5-3)!}\)=\( {5! \over 2!}\)=\( {5.4.3.2.1 \over 2.1}\)=5.4.3=60

ÖRNEK:

P(n,2) = 30 ise n = ? 

ÇÖZÜM:

P(n,2) =  \( {n! \over (n-2)!}\) = \( {n . (n-1). (n-2)! \over (n-2)!}\) = \( n . (n-1) = 30\) 

n = 6 olur.

Tekrarlı Permütasyon

TANIM: Bazı elemanları özdeş olan n elemanlı bir kümenin n li permütasyonlarına tekrarlı permütasyon denir. \(x_1,x_2, ... ,x_a \) doğal sayılardır ve \(x_1+x_2+ ... +x_a =n\) 'dir. A kümesinin bir elemanından \(x_1\) tane bulunsun, bir elemanından \(x_2\) tane bulunsun, ... , bir elmanından ise \(x_a\) tane bulunsun. Bu durmda A kümesinin n li permütasyonları P(n;\(x_1,x_2, ... ,x_a \)) = \( {n!\over x_1! .x_2!. ... x_a!}\) olur.

ÖRNEK:

K A H R A M A N M A R A Ş kelimesini harfelerini yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime oluşturulabilir?

ÇÖZÜM

Kelime 13 harften oluşuyor. Her harften kaç edet olduğunu yazalım. K=1, A=5, H=1, R=2, M=2, N=1, Ş=1 olduğundan ( 1+5+1+2+2+1+1==13) ;

\(P(13;1,5,1,2,2,1,1) = {13! \over 1!.5!.1!.2!.2.1!.1!}\) =\( {13.12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 \over 1.5.4.3.2.1.1.2.1.2.1.1.1}\) = \( {13.12.11.10.9.4.7.3 }\)= 12972960 olur.

Dönel Permütasyon

Permütasyon işlemini şimdiye kadar doğrusal şekilde yapıyorduk, bu kez dairesel şekilde yapacağız. Örneğin; yuvarlak bir masa, anahtarlık vb. gibi durumlarda permütasyon bulacağız.

TANIM: n doğal sayı olmak üzere n tane farklı elemanın dairesel permütasyonu (n-1)! dir.

ÖRNEK:

Muhsin beyin beş tane anahtarı var ve bu anahtarları bir anahtarlığa dizmek istiyor. Muhsin bey anahtarlarını anahtarlığa kaç farklı şekilde dizebilir.

ÇÖZÜM:

5 anahtar ise (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 farklı şekilde dizebilir.

ÖRNEK:

Kadir, Yahya, Berk ve üç misafiri beraber yuvarlak bir masada yemek yemek istiyorlar. Kadir, Yahya, Berk yanyana olacaklarına masaya göre kaç farklı şekilde oturabilirler.

ÇÖZÜM:

Kadir, Yahya ve Berk'i bir kişi sayalım bu durumda masaya

(4-1)! farklı şekilde otururlar ayrıca Kadir, Yahya ve Berk kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanabilirler.

Yani masaya (4-1)!.3! =3!.3!=36 farklı şekilde oturabilirler

3.Kombinasyon

TANIM:  n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısına n'nin r'li kombinasyonu denir. C(n,r) ve \(\binom nr\) ile gösterilir. C(n,r)=\(\binom nr\)=\( {n! \over (n-r)!.r!}\)

ÖRNEK:

Bayram ziyaretinde tokalaşmak isteyen 6 kişini kaç farlı şekilde tokalaşabileceğini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Tokalaşma 2 kişi arasında olur. O halde 6 kişini 2 li kombinasyonlarını bulmamız gerekiyor.

n=6 ve r=2  => \(\binom nr\) = \( {n! \over (n-r)!.r!}\) => \(\binom 62\)=\( {6! \over (6-2)!.2!}\)=\( {6.5.4.3.2. \over 4.3.2.2}\)=15

ÖZELLİKLER

•  \( \binom n0 = \binom nn =1 \)
•  \( \binom nr = \binom n{n-r} \)
•  \( \binom nr = \binom nk \)  ise  r=k veya n=r+k
•  \( \binom n1 = \binom n{n-1} =n\)
•  \( \binom nr = \binom n{r+1} = \binom {n+1}{r+1}\)
•  \(\binom n0 + \binom n1+...+  \binom nn=2^n\)

ÖRNEK:

s(A)=15 ise A kümesinin 12'li kombinasyonlarının sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\( \binom nr = \binom n{n-r} \) olduğundan \( \binom {15}{12} = \binom {15}{15-12} =\binom {15}{3}\)'dir

\(\binom {15}{3}\) = \( {15! \over 3!.(15-3)!}\) = \( {15.14.13.12! \over 12!.3!}\) = \( {15.14.13 \over 3.2}\) = \( {5.7.13 }\) = 455 bulunur.

ÖRNEK:

Düzlemde bulunan farklı 8 doğrunun en çok kaç noktada kesişebileceğini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Farklı doğrular ya kesişir ya da paraleldirler. Doğruların ikisi, üçü veya daha fazlası tek noktada kesişebilirler. Ancak bizden en fazla kaç noktada kesiştiklerini sorduğu için en az doğruyu en çok şekilde kesiştirmeliyiz. Bu ise her iki doğrunun bir noktada kesişmesi ile mümkündür.

\(\binom {8}{2}\) = \({8.7.6.5.4.3.2 \over 6.5.4.3.2.2}\) = 28 olur

4. Pascal Üçgeni:

x ve y  "0"dan farklı reel sayılar olsun. 

\((x+y)^{0}\) = \( \textbf1\)

\((x+y)^{1}\) = \( \textbf1x+ \textbf1y\)

\((x+y)^{2 }\) = \( \textbf1x^{2}+\textbf2xy+ \textbf1y^{2}\)

\((x+y)^{3 }\) = \( \textbf1x^{3}+\textbf3x^{2}y+\textbf3 y^{2}x+ \textbf1y^{3}\)

\((x+y)^{4}\) = \( \textbf1x^{4}+ \textbf4x^{3}y+\textbf6x^{2}y^{2}+\textbf4 y^{2}x^{2}+ \textbf1y^{4}\)

\((x+y)^{5}\) = \( \textbf1x^{5}+ \textbf5x^{4}y​​​​+\textbf{10}x^{3}y^{2}+\textbf{10}x^{2}y^{3}+\textbf5 yx^{4}+ \textbf1y^{5}\)

\((x+y)^{6}\) = \( \textbf1x^{6}+ \textbf6x^{5}y​​​​+\textbf{15}x^{4}y^{2}+\textbf{20}x^{3}y^{3}+\textbf{15}x^{2}y^{4}+\textbf5 yx^{5}+ \textbf1y^{6}\) 

.

.

.

 \(x+y\) 'nin sıfırıncı kuvvetinden başalanarak sıra ile kuvvetleri alınıp yukarıdaki gibi yazılmıştır. Her açılımdaki terimlerin katsayıları ile bir üçgen oluşturulmuştur.

   Pascal Üçgeninde;

• her satırın ilk ve son satırları "1"dir.
• Her satırda baştan ve sondan aynı uzaklıktaki terimler aynıdır.
• Bir üst satırın komşu iki teriminin toplamı, alt satırdaki iki terim arasındaki terimi oluşturur.

ÖRNEK:

\((x+y)^{4}\) açılımını Pascal üçgeni yardımı ile bulalım.

ÇÖZÜM:

x + y 'nin herhangi bir kuvvetinde x'in üsleri birer azalırken y'nin üsleri birer artar. Ve pascal üçgeninde \((x+y)^{4}\) açılımının katsayıları ( 1, 4, 6, 4, 1 )  olduğundan;

\((x+y)^{4}\) = \(x^{5}+5x^{4}y​​​​+10x^{3}y^{2}+10x^2y^{3}+5 yx^{4}+y^{5}\) şeklinde olur.

5.Binom Açılımı:

TANIM:   x, y ∈ R  ;  n, r ∈ N  ve  r < n  olmak üzere;

\((x+y)^{n}\) = \(\binom n0x^{n}+ \binom n1x^{n-1}y+...+\binom nrx^{n-r}y^{r}+...+\binom{n}{n-1}xy^{n-1}+\binom nny^{n}\) 'dir. Formüldeki katsayılar (\(\binom n0,\binom n1,...,\binom nn\)) pascal üçgenindeki (n+1). satırdaki katsayılar ile eşittir.

   Özellikler:

   \((x+y)^{n}\) ifadesinin binomu için;

•  Açılımındaki terim sayısı n+1 tanedir.
• Her terimde x ve y'nin üsleri toplamı n olur.
• Baştan (r+1)inci terim \(\binom nrx^{n-r}y^{r}\) dir. Bu terime genel terim de denir. 
• \(\binom n0,\binom n1,...,\binom nn\) katsayılarına binom katsayıları denir.
• Baştan ve sondan aynı uzaklıktaki terimlerin katsayıları Pascal üçdeninin satırlarında olduğu gibi aynıdır.
• Katsayılar toplamı x=y=1 yazılarak bulunur. ( \((x+y)^{n}\) = \((1+1)^{n}\) = \(2^{n}\) ) 
• Sabit terim x=y=0 yazılarak bulunur. ( Sabit terim bulunurken x'li terimler yok edilir.)
• \((x+y)^{2n}\) ifadesinin binom açılımındaki ortanca terim \(\binom {2n}nx^{n}y^{n}\) olur.

ÖRNEK:

\((x^{4}+{1 \over x^2})^{8} \) açılımında sabit terim kaçtır?

ÇÖZÜM:

Sabit terimi bulabilmek için x'li terimin üssünü 0 yapmalıyız.

  \(k. x^{0}\) = \(\binom {8}r(x^{4})^{8-r}{1 \over (x^2)^{8}}\)

 \(k. x^{0}\) = \(\binom {8}rx^{32-4r}{1 \over x^{16}}\)

 \(k. x^{0}\) = \(\binom {8}rx^{32-4r}.x^{-16}\)

  \(k. x^{0}\) = \(\binom {8}rx^{16-4r}\)

16-4r=0 ve \(\binom {8}r\) = k

r=4

k = \(\binom {8}{4 }\) = \( {8.7.6.5 \over 4.3.2.1}\) = \(70\)

\(k. x^{0}\) = 70. 1 = 70 olur.